Яцкин Н. И. Линейная алгебра: Теоремы и алгоритмы ОНЛАЙН

Яцкин Н. И. Линейная алгебра : Теоремы и алгоритмы : учебное пособие / Н. И. Яцкин. — Иваново : Иван. гос. ун-т, 2008. — 607 с.
Излагаются основы теории и приводятся указания к практическим и лабораторным занятиям по курсу алгебры и геометрии в рамках следующих тем: линейные пространства и линейные отображения, спектральная теория для линейных операторов, линейные, билинейные и квадратичные формы.
Пособие предназначено для студентов вузов, обучающихся по направлению «Математика. Компьютерные науки».

загрузка...

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие………………………………………………….11
Глава 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. БАЗИСЫ И РАЗМЕРНОСТИ ………………………..15
§ 1. Аксиомы линейного пространства над полем. Примеры линейных пространств. Линейные подпространства. Линейные отображения………………………15
1.1. Аксиомы ПОЛЯ…………………………………………..15
1.2. Аксиомы линейного пространства…………………………..15
1.3. Арифметические линейные пространства……………………18
1.4. Другие примеры конкретных линейных пространств…………..19
1.5. Линейные подпространства……………….21
1.6. Линейные отображения………………..24
1.7.* Пример линейного пространства над полем F2……….28
§ 2. Системы векторов в линейных пространствах и их линейные оболочки. Порождающие системы векторов. Конечномерные и бесконечномерные линейные пространства……….33
2.1. Системы векторов в линейном пространстве и их линейные оболочки 33
2.2.* Линейные оболочки подмножеств в линейных пространствах … 36
2.3. Конечномерные и бесконечномерные линейные пространства … 38
§ 3. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов 41
3.1. Понятие линейно зависимой (линейно независимой) с.в…………..41
3.2. Свойство единственности разложения вектора по линейно независимой с.в………………………………………………..43
3.3.* Понятие линейной зависимости (независимости) для подмножеств
в линейном пространстве………………………………..43
3.4. Линейно независимые системы векторов в функциональных пространствах …………………………………………..44
§ 4. Базисы в линейных пространствах; четыре способа характеризации; теорема существования……………..50
4.1. Определение базиса в линейном пространстве……….50
4.2. Четыре способа характеризации базисов………….52
4.3. Теорема существования базиса для к.л.п………….54
4.4.* Алгебраические базисы в произвольных линейных пространствах (базисы Гамеля)……………………………………….55
4.5.* Понятие о топологических базисах……………56
§ 5. Равномощность базисов. Размерность линейного пространства.
Продолжение базисов………………….58
5.1. Оценка количества векторов в линейно независимой с.в……58
5.2. Характеризация к.л.п. в терминах линейно независимых с.в. Конечномерность подпространств в к.л.п…………………………60
5.3. Равномощность всех базисов и понятие размерности для к.л.п. . . 61
5.4. Продолжение базисов…………………62
5.5. Свойство строгой монотонности размерности……….63
§ 6. Основная теорема о линейных отображениях. Теорема об изоморфизме. Координатный изоморфизм………….64
6.1. Основная теорема о линейных отображениях к.л.п………………64
6.2. Свойства линейных изоморфизмов……………68
6.3. Теорема об изоморфизме для к.л.п…………….69
6.4. Координатный изоморфизм к.л.п. на арифметическое линейное пространство …………………………………………….70
§ 7. Матрица перехода от одного базиса к другому. Изменение координатного столбца вектора при замене базиса……..72
7.1. Матрица перехода от одного базиса в к.л.п. к другому. Свойства
матриц перехода……………………………………….72
7.2. Изменение координатного столбца вектора при замене базиса … 77
7.3. Задачи на вычисление матриц перехода и пересчет координатных
столбцов при замене базисов…………………………….79
7.4. Применение системы Maple для решения задач, связанных с заме-
ной базисов…………………………………………..85
§ 8. Сумма и пересечение линейных подпространств. Формула Грассмана…………………………88
8.1. Линейные подпространства в к.л.п. и действия над ними…..88
8.2. Сумма и пересечение конечномерных линейных подпространств. Формула Грассмана……………………………………91
§ 9. Прямые суммы и прямые дополнения………….95
9.1. Внутренняя прямая сумма линейных подпространств. Критерий
прямизны…………………………………………….95
9.2. Прямые дополнения к линейному подпространству……..100
9.3. Полные прямые суммы. Операторы вложения и проектирования . 105
9.4. Внешняя прямая сумма линейных пространств……….108
§ 10. Алгоритмы построения базисов в линейных подпространствах
конечномерных линейных пространств……………………111
10.1. Два способа задания линейных подпространств и алгоритмы построения базисов в них………………..111
10.2. Алгоритм продолжения базиса……………..115
10.3. Алгоритмы построения базисов в сумме и пересечении линейных подпространств…………………..117
§ 11. Примеры решения задач на построение базисов в линейных
подпространствах……………………………………….122
11.1. Типовой расчет по теме «Базисы в подпространствах»……122
11.2. Особые случаи расположения подпространств в расчете ТР1 . . . 133
11.3. Пакет Марш-процедур для решения ТР1…………135

Глава 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ КОНЕЧНОМЕРНЫХ
ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ…………………………..139
§ 12. Алгебраические действия над линейными отображениями. Матрица линейного отображения…………………………….139
12.1. Алгебраические действия над линейными отображениями …. 139
12.2. Матрица линейного отображения. Изоморфизмы между линейными пространствами линейных операторов и матриц…….142
12.3. Матрица для композиции линейных отображений. Теорема об изоморфизме для алгебраических систем линейных операторов и матриц ………………………..145
12.4.* Арифметизация («оцифровка») линейных операторов……147
12.5. Примеры вычисления матриц линейных отображений……150
§ 13. Преобразование матрицы линейного отображения при замене
базисов. Эквивалентные матрицы. Подобные матрицы . . . 156
13.1. Замена базисов и преобразование матрицы линейного отображения 156
13.2.* Изменение «оцифровки» для линейного оператора при замене базисов ……………………….158
13.3. Эквивалентные матрицы……………….158
13.4. Примеры пересчета матриц линейных отображений…….161
13.5. Линейные эндоморфизмы и их матрицы…………164
13.6. Подобные квадратные матрицы…………….165
13.7. Примеры пересчета матриц л.э……………..167
13.8.* Оператор разностного дифференцирования……….172
13.9. Определитель и след для линейного эндоморфизма…….174
§ 14. Образ и ядро, ранг и дефект линейного отобргіжения…..177
14.1. Отображения множеств, образы и прообразы подмножеств …. 177
14.2. Образы и прообразы линейных подпространств при линейных отображениях……………………..178
14.3. Алгоритмы построения базисов в ядре и образе линейного отображения ……………………….183
§ 15. Теоремы о линейных гомоморфизмах………….186
15.1. Первая теорема о линейных гомоморфизмах……….186
15.2. Вторая теорема о линейных гомоморфизмах……….187
15.3. Критерии эпи-(моно-, изо-)морфности………….189
15.4. Критерии обратимости (необратимости) линейных эндоморфизмов 190
Глава 3. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЭНДОМОРФИЗМОВ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ………………………………………………..192
§ 16. Собственные значения (спектр) и собственные подпространства для линейного эндоморфизма……………………….192
16.1. Определение собственных значений, собственных векторов и собственных подпространств для линейного эндоморфизма…..192
16.2. Примеры отыскания спектра и собственных подпространств … 194
§ 17. Характеристический многочлен и характеристические корни
для линейного эндоморфизма…………………………….196
17.1. Характеристическая матрица и характеристический многочлен. . 196
17.2. Коэффициенты характеристического многочлена……..200
17.3. Корни характеристического многочлена…………203
17.4. Алгебраические кратности собственных значений……..205
§ 18. Алгоритм отыскания спектра и собственных подпространств
для линейного эндоморфизма…………………………….207
18.1. Арифметизация собственных подпространств……….207
18.2. Геометрические кратности собственных значений……..208
18.3. Алгоритм отыскания собственных значений и собственных подпространств для л.э…………………..209
18.4. Примеры отыскания спектра и базисов в собственных подпространствах ……………………….212
§ 19. Свойства собственных подпространств………….218
19.1. Подпространства, инвариантные относительно л.э……..218
19.2. Инвариантность собственных подпространств……….219
19.3. Независимость в совокупности собственных подпространств л.э. . 222
§ 20. Линейные эндоморфизмы в прямой сумме и их матрицы . . . 225
20.1. Операторы вложения и проектирования в полной прямой сумме и
их матрицы…………………….225
20.2. Полные прямые суммы и фильтрации………….228
20.3. Матрица л.э., действующего в полной прямой сумме, и ее блочное строение………………………229
20.4.* Умножение блочных матриц……………..231
20.5. Блочная структура матрицы л.э. в случае инвариантности фильтрации ………………………233
§ 21. Диагонализируемые линейные эндоморфизмы……..237
21.1. Свойство диагонализируемости для линейных эндоморфизмов . . 237
21.2. Диагонализируемость на инвариантном подпространстве …. 239
21.3. Критерий диагонализируемости линейного эндоморфизма …. 240
21.4. Диагонализируемость операторов и диагонализируемость квадратных матриц…………………….241
21.5. Линейные эндоморфизмы (квадратные матрицы) с простым спектром ……………………….242
21.6. Примеры недиагонализируемых л.э……………242
21.7. Алгоритм исследования линейного эндоморфизма на диагонализируемость …………………….247§ 16. Собственные значения (спектр) и собственные подпространства для линейного эндоморфизма……………………….192
16.1. Определение собственных значений, собственных векторов и собственных подпространств для линейного эндоморфизма…..192
16.2. Примеры отыскания спектра и собственных подпространств … 194
§ 17. Характеристический многочлен и характеристические корни
для линейного эндоморфизма…………………………….196
17.1. Характеристическая матрица и характеристический многочлен. . 196
17.2. Коэффициенты характеристического многочлена……..200
17.3. Корни характеристического многочлена…………203
17.4. Алгебраические кратности собственных значений……..205
§ 18. Алгоритм отыскания спектра и собственных подпространств
для линейного эндоморфизма…………………………….207
18.1. Арифметизация собственных подпространств……….207
18.2. Геометрические кратности собственных значений……..208
18.3. Алгоритм отыскания собственных значений и собственных подпространств для л.э…………………..209
18.4. Примеры отыскания спектра и базисов в собственных подпространствах ……………………….212
§ 19. Свойства собственных подпространств………….218
19.1. Подпространства, инвариантные относительно л.э……..218
19.2. Инвариантность собственных подпространств……….219
19.3. Независимость в совокупности собственных подпространств л.э. . 222
§ 20. Линейные эндоморфизмы в прямой сумме и их матрицы . . . 225
20.1. Операторы вложения и проектирования в полной прямой сумме и
их матрицы…………………….225
20.2. Полные прямые суммы и фильтрации………….228
20.3. Матрица л.э., действующего в полной прямой сумме, и ее блочное строение………………………229
20.4.* Умножение блочных матриц……………..231
20.5. Блочная структура матрицы л.э. в случае инвариантности фильтрации ………………………233
§ 21. Диагонализируемые линейные эндоморфизмы……..237
21.1. Свойство диагонализируемости для линейных эндоморфизмов . . 237
21.2. Диагонализируемость на инвариантном подпространстве …. 239
21.3. Критерий диагонализируемости линейного эндоморфизма …. 240
21.4. Диагонализируемость операторов и диагонализируемость квадратных матриц…………………….241
21.5. Линейные эндоморфизмы (квадратные матрицы) с простым спектром ……………………….242
21.6. Примеры недиагонализируемых л.э……………242
21.7. Алгоритм исследования линейного эндоморфизма на диагонализируемость …………………….247
§ 22. Свойства характеристического многочлена……….250
22.1. Характеристический многочлен для сужения л.э. на его инвариантное подпространство……………….250
22.2. Неравенства для геометрических и алгебраических кратностей собственных значений………………….251
22.3.* Собственная сумма и блочная структура для л.э………253
§ 23. Итерированные ядра и образы, дефекты и ранги. Теорема о
стабилизации…………………………………………..254
23.1. Итерированные ядра и образы, дефекты и ранги для л.э…..254
23.2. Теорема о стабилизации для л.э……………..256
23.3. Стабильное ядро и стабильный образ; их взаимная дополнительность ……………………….258
23.4. Теорема о стабилизации в случае нильпотентного л.э…….260
§ 24. Приращения итерированных дефектов. Теорема Фробениуса.
Вторые приращения дефектов…………………………..263
24.1. Приращения итерированных дефектов………….263
24.2. Теорема Фробениуса…………………263
24.3. Вторые приращения итерированных дефектов………266
§ 25. Жорданов базис в стабильном ядре линейного эндоморфизма.
Малая теорема Жордана………………………………..268
25.1. Понятие жорданова базиса для л.э……………268
25.2. Базисы в стабильном ядре л.э., организованные в виде столбчатых диаграмм……………………..269
25.3. Малая теорема Жордана……………….272
25.4. Стабильный дефект как алгебраическая кратность нулевого собственного значения………………….274
25.5. Жорданов базис для нильпотентного л.э………….275
25.6. Алгоритм построения жорданова базиса в стабильном ядре л.э. . 276
§ 26. Корневые подпространства для линейного эндоморфизма . .281
26.1. Корневые подпространства и корневые векторы ……..281
26.2. Инвариантность корневых подпространств………..283
26.3.* Композиция многочленов. Сдвиг аргумента у многочлена …. 285
26.4. Размерность корневого подпространства…………287
26.5. Жорданов базис в корневом подпространстве л.э………290
26.6. Алгоритм построения жорданова базиса в корневом подпространстве ………………………..292
§ 27. Корневая сумма. Большая теорема Ж^ордана………294
27.1. Независимость в совокупности корневых подпространств для л.э.. 294
27.2. Жорданов базис в корневой сумме. Большая теорема Жордана . 298
27.3. Жорданова нормальная форма и критерий подобия для квадратных матриц…………………….301
27.4.* Комплексификация и овеществление. Обобщенная ж.н.ф. для действительных матриц…………………304
§ 28. Алгоритм построения жорданова базиса для линейного эндоморфизма ………………………………………………313
28.1. Обзор ранее изученых алгоритмов спектральной теории л.э. . . . 313
28.2. Алгоритм построения (частично) жорданова базиса для л.э. . . . 315
28.3. Типовой расчет по теме «Жорданов базис для линейного эндоморфизма» ………………………318
28.4. Особые случаи в задаче о построении жордановых базисов …. 332
28.5. Отыскание ж.н.ф. матрицы с помощью системы Maple…..334
28.6. «Процедура-сценарий» jrd для решения задач ТР2…….337
§ 29. Многочлены от линейных эндоморфизмов и квадратных матриц. Аннулирующие многочлены…………… 338
29.1. Значение многочлена от линейного эндоморфизма (от квадратной матрицы)……………………..338
29.2. Аннулирующие многочлены для л.э. и для квадратных матриц . . 347
29.3. Теорема Гамильтона — Кэли………………352
29.4.* Функции от матриц…………………357
§ 30.* Каноническая форма Смита для полиномиальной матрицы и
ее применения……………………. 359
30.1. Матрицы над кольцом многочленов и алгебраические действия над ними……………………….359
30.2. Каноническая форма Смита и эквивалентность полиномиальных матриц………………………363
30.3. Квадратные матрицы над кольцом многочленов и их представление в виде многочленов с матричными коэффициентами …. 370
30.4. Подобие квадратных матриц (над полем) и эквивалентность их характеристических матриц (над кольцом многочленов)…..377
30.5. Инвариантные многочлены и элементарные делители для квадратных матриц над полем. Критерий подобия………..381
30.6. Второй способ приведения квадратной матрицы к ж.н.ф…..382
Глава 4. ЛИНЕЙНЫЕ, БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ НА КОНЕЧНОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ………………………… 396
§ 31. Линейные формы на конечномерном линейном пространстве.
Двойственное линейное пространство……………………..396
31.1. Понятие линейной формы……………….396
31.2. Матрица-строка и координатное выражение для линейной формы 398
31.3. Понятие двойственного (сопряженного) линейного пространства. Двойственный (сопряженный) базис…………..399
31.4. Влияние замены базиса на линейные формы……….403
§ 32. Теория двойственности…………………406
32.1. Второе двойственное пространство. Канонический изоморфизм к.л.п. на его второе двойственное……………406
32.2. Аннуляторы подмножеств и их свойства…………411
32.3. Аннуляторы линейных подпространств………….413
32.4. Соотношения двойственности……………..416
§ 33. Двойственный линейный оператор. Теорема Фредгольма . . . 417
33.1. Понятие двойственного линейного оператора……….417
33.2. Матрица двойственного оператора……………422
33.3. Теорема Фредгольма…………………425
33.4.* Неформальные рассуждения о природе двойственности…..426
§ 34. Билинейные формы и их матрицы……………429
34.1. Понятие билинейной формы на линейном пространстве…..429
34.2. Матрица билинейной формы……………..432
34.3. Изменение матрицы билинейной формы при замене базиса. Конгруэнтные матрицы…………………435
34.4. Ранг билинейной формы. Невырожденные б.ф……….437
34.5. Симметрические и антисимметрические б.ф………..438
34.6.* Два линейных гомоморфизма линейного пространства в двойственное, связанные с б.ф……………….442
§ 35. Симметрические билинейные и квадратичные формы. Формула поляризации……………………………………….447
35.1. Понятие квадратичной формы. Формула поляризации……447
35.2. Матрица и координатная запись для квадратичной формы…. 449
35.3. Диагонализирующие базисы для симметрических билинейных (квадратичных) форм………………….451
§ 36. Диагонализация по Лагранжу симметрических билинейных
(квадратичных) форм……………………………………453
36.1. Алгоритм Лагранжа диагонализации с.б.ф. (кв.ф.)…….453
36.2. Скелетный вид для с.б.ф. (кв.ф.) над алгебраически замкнутым полем……………………….463
§ 37. Диагонализация по Якоби симметрических билинейных (квадратичных) форм. Метод Грам — ГПмидта………………..465
37.1. Метод Якоби диагонализации с.б.ф. (кв.ф.)………..465
37.2. Алгоритм Грама — Шмидта диагонализации с.б.ф. (кв.ф.) …. 474
§ 38. Симметрические билинейные (квадратичные) формы над полем действительных чисел. Сигнатура. Теорема инерции . . 478
38.1. Нормальный вид для с.б.ф. (кв.ф.) над полем М……..478
38.2. Индексы инерции для с.б.ф. (кв.ф.) над полем М. Теорема инерции 481
38.3. Знакоопределенные и знакопеременные с.б.ф. (кв.ф.) над полем М 485
38.4. Критерий Сильвестра положительной (отрицательной) определенности с.б.ф. (кв.ф.)………………….489
38.5.* Исследование функций на экстремум и квадратичные формы . . 494
§ 39. Примеры решения задач на исследование симметрических билинейных (квадратичных) форм…………………………497
39.1. Типовой расчет по теме «Диагонализация симметрических билинейных (квадратичных) форм»…………….497
39.2. Пакет Маріе-процедур для решения ТРЗ…………505
§ 40.* Одновременная диагонализация двух симметрических билинейных (квадратичных) форм…………………………….506
40.1. К.л.и. с фиксированной положительно определенной с.б.ф.; ортогональные и ортонормированные базисы…………506
40.2. Ортогональные матрицы……………….509
40.3. Линейный изоморфизм между пространствами л.э. и б.ф., определяемый с помощью невырожденной с.б.ф…………510
40.4. Самосопряженные л.э. и их матрицы ………….511
40.5. Спектральные свойства самососопряженных линейных эндоморфизмов ………………………514
40.6. Ортогональная диагонализируемость самосопряженного л.э. . . . 517
40.7. Ортогональная диагонализация (приведение к главным осям) с.б.ф.
в евклидовом пространстве………………519
40.8. Полулинейные, полуторалинейные и эрмитовы формы…..524
Список рекомендуемой литературы……………..526
Список используемых сокращений……………..528
Приложение 1. Коды Маріе-процедур……………529
Приложение 2. Иллюстрации………………..594
Приложение 3. Столбчатые диаграммы……………597
Приложение 4. Содержание [Ai] — первой части курса……605

Поделиться ссылкой:
  • Добавить ВКонтакте заметку об этой странице
  • Мой Мир
  • Facebook
  • Twitter
  • LiveJournal
  • В закладки Google
  • Яндекс.Закладки
  • Сто закладок
  • Blogger
  • Блог Li.ру
  • Блог Я.ру
  • Одноклассники
  • RSS

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: