Шарипов Р. А. Курс дифференциальной геометрии ОНЛАЙН

Шарипов Р. А. Курс дифференциальной геометрии : учебное пособие для вузов / Издание Башкирского университета. — Уфа, 1996. — 211 с.
Книга представляет собой учебное пособие по основному курсу дифференциальной геометрии и предназначена для первоначального знакомства с этой дисциплиной. Поэтому изложение начинается с теории кривых в трехмерном евклидовом пространстве E . Затем излагается векторный анализ в E в декартовых и в криволинейных координатах, после чего рассматривается теория поверхностей в пространстве E .


Новомодный подход, стартующий с понятия дифференцируемого многообразия, на наш взгляд, непригоден для первоначального знакомства с предметом. Слишком много усилий затрачивается на освоение этого понятия, а содержательная часть отодвигается на более поздний срок. Гораздо важнее быстрее познакомить читателя с другими элементами современной геометрии: векторным и тензорным анализом, с ковариантным дифференцированием и теорией римановой кривизны. Ограничение размерности n = 2 и n = 3 не является значительным препятствием на этом пути, а последующий переход от поверхностей к многообразиям большей размерности становится более естественным и простым.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ……………………………………………………… 5.
ГЛАВА I. КРИВЫЕ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ
ТОЧЕЧНОМ ПРОСТРАНСТВЕ…………………………… 7.
§ 1. Кривые. Способы задания кривых. Регулярные
и особые точки кривой…………………………………………. 7.
§ 2. Интеграл длины и выбор натурального параметра
на кривой………………………………………………………… 14.
§ 3. Репер Френе. Динамика репера Френе. Кривизна
и кручение пространственной кривой…………………… 17.
§ 4. Центр кривизны и радиус кривизны. Эволюта
и эвольвента кривой………………………………………….. 20.
§ 5. Кривые как траектории материальных точек
в механике……………………………………………………….. 23.
ГЛАВА II. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО
И ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА……………………………… 26.
§ 1. Векторные и тензорные поля в пространстве………… 26.
§ 2. Тензорное произведение и свертка………………………… 30.
§ 3. Алгебра тензорных полей……………………………………. 36.
§ 4. Симметрирование и альтернирование……………………. 40.
§ 5. Дифференцирование тензорных полей………………….. 44.
§ 6. Метрический тензор и псевдотензор объема…………… 49.
§ 7. Свойства псевдотензоров…………………………………….. 54.
§ 8. Замечание об ориентации……………………………………. 55.
§ 9. Поднятие и опускание индексов……………………………. 58.
§ 10. Градиент, дивергенция и ротор. Некоторые
тождества векторного анализа……………………………. 60.
§ 11. Потенциальные и вихревые векторные поля…………. 66.
ГЛАВА III. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ………. 71.
§ 1. Некоторые примеры криволинейных систем
координат………………………………………………………… 71.
§ 2. Подвижный репер криволинейной системы
координат………………………………………………………… 76.
§ 3. Замена криволинейных координат………………………… 82.
§ 4. Векторные и тензорные поля в криволинейных
координатах……………………………………………………… 87.
§ 5. Дифференцирование тензорных полей в криволинейных координатах……………………………………….. 90.
§ 6. Преобразование компонент связности при
замене системы координат. ………………………………… 98.
§ 7. Согласованность метрики и связности. Еще одна
формула для символов Кристоффеля………………… 100.
§ 8. Параллельный перенос. Уравнение прямой
в криволинейных координатах………………………….. 103.
§ 9. Некоторые вычисления в полярных, цилиндрических и сферических координатах. ………………….. 111.
ГЛАВА IV. ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ…………… 118.
§ 1. Параметрическое задание поверхностей. Криволинейные координаты на поверхности………………… 118.
§ 2. Замена криволинейных координат на поверхности…………………………………………………………….. 124.
§ 3. Метрический тензор и тензор площади……………….. 128.
§ 4. Подвижный репер поверхности. Деривационные
формулы Вайнгартена………………………………………………………………………………131.
§ 5. Символы Кристоффеля и вторая квадратичная
форма…………………………………………………………………………………………………………………………..135.
§ 6. Ковариантное дифференцирование внутренних
тензорных полей на поверхности……………………………………………………140.
§ 7. Согласованность метрики и связности
на поверхностях………………………………………………………………………………………………..150.
§ 8. Тензор кривизны………………………………………………………………………………………………155.
§ 9. Уравнения Гаусса и Петерсона-Кодацци………………………………..164.
ГЛАВА V. КРИВЫЕ НА ПОВЕРХНОСТЯХ…………………………….169.
§ 1. Параметрическое уравнение кривой
на поверхности………………………………………………………………………………………………….169.
§ 2. Геодезическая и нормальная кривизна кривой………………..171.
§ 3. Экстремальное свойство геодезических линий………………..176.
§ 4. Внутренний параллельный перенос
на поверхностях………………………………………………………………………………………………..182.
§ 5. Интегрирование на поверхностях. Формула
Грина…………………………………………………………………………………………………………………………..191.
§ 6. Теорема Гаусса-Бонне………………………………………………………………………………….198.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………………………………………………..210.

загрузка...
Поделиться ссылкой:
  • Добавить ВКонтакте заметку об этой странице
  • Мой Мир
  • Facebook
  • Twitter
  • LiveJournal
  • В закладки Google
  • Яндекс.Закладки
  • Сто закладок
  • Blogger
  • Блог Li.ру
  • Блог Я.ру
  • Одноклассники
  • RSS

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: