Певзнер С.Л. Проективная геометрия ОНЛАЙН

Певзнер С.Л. Проективная геометрия: учебное пособи к курсу «Геометрия» для студентов-заочников II-III курсов физико-математических факультетов пед. университетов. — М.: Просвещение, 1980.

Предлагаемое учебное пособие содержит материал по проективно геометрическим темам действующей программы курса геометрии педагогических институтов, а именно по разделам «Понятие проективного пространства» и «Основные факты проективной геометрии».

Изложение начинается с одномерной проективной геометрии. Это поможет читателю подготовиться к изучению основного материала двумерной геометрии. Такая дополнительная «ступенька», на мой взгляд, особенно полезна студенту-заочнику.

Преподавателю необходимо обратить внимание на применение проективных теорем к геометрии евклидовой плоскости, — это важный для будущего учителя аспект проективной геометрии. Этому вопросу в пособии уделено достаточное число пунктов и параграфов, названия которых заканчиваются словами «… на расширенной евклидовой плоскости». Студент должен четко представлять, например, что проективная теорема Дезарга распадается на много теорем евклидовой геометрии, что гармоническое деление — это обобщение деления пополам, что центр квадрики — это полюс несобственной прямой и т. д.

Книга состоит из шести глав. Главы разбиты на параграфы, параграфы — на пункты. Нумерация пунктов, формул и примеров сохраняется в пределах каждого параграфа.

Пособие представляет расширенный вариант одноименной брошюры автора (Проективная геометрия. М., 1975). В отличие от нее изложение здесь более полное, теоретический материал иллюстрируется большим количеством подробно решенных примеров.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПРЯМОЙ
§ 1. Расширенная евклидова прямая. Проективная прямая…………..4
1. Перспективное отображение прямой в пучок………………….—
2. Расширенная евклидова прямая. Определение проективной прямой. —
3. Порядок точек на проективной прямой……………………..5
§ 2. Проективная система координат на прямой……………………..6
1. Определение проективной системы координат………………..—
2. Гомотетичные системы координат в пучке……………………7
3. Задание проективных координат при помощи прямых пучка …. 8
4. Преобразование проективных координат ……………………9
5. Проективные координаты на расширенной евклидовой прямой. Однородные аффинные координаты…………………………….11
§ 3. Двойное отношение четырех точек. Гармонизм………………….14
1. Определение двойных отношений…………………………..—
2. Двойное отношение четверок, содержащих совпавшие точки …. 16
3. Существование и единственность точки, находящейся с данными тремя в данном двойном отношении. Выражение проективных координат через двойные отношения
4. Двойное отношение и порядок точек на пряой………………17
5. Изменение двойного отношения при изменении порядка точек … 18
6. Гармонические четверки ………………………………..19
§ 4. Двойное отношение точек на расширенной евклидовой прямой …. 21
1. Выражение двойного отношения через простые отношения …. —
2. Гармонические четверки точек на расширенной евклидовой прямой. 23
Глава II.ПОНЯТИЕ ПРОЕКТИВНОЙ плоскости
§ 5. Расширенная евклидова плоскость. Проективная плоскость……….24
1. Перспективное отображение плоскости в связку………………—
2. Расширенная евклидова плоскость …………………………25
3. Свойства несобственных элементов ……………………….—
4. Простейшие теоремы об инцидентности на расширенной евклидовой плоскости………..26
5. Определение проективной плоскости ……………………….27
§ 6. Проективная система координат …………………………….29
1. Определение и задание проективных координат. Преобразование координат……………..—
2. Условие коллинеарности трех точек и уравнение прямой. Координаты прямой …………………………30
3. Условие принадлежности трех прямых одному пучку…………31
§ 7. Однородные аффинные координаты на расширенной евклидовой плоскости ……………………………………………………35
1. Определение однородных аффинных координат………………—
2. Связь однородных аффинных координат с неоднородными……….36
3. Прямые в однородных аффинных координатах ………………37
4. Кривые второго порядка в однородных аффинных координатах . . 38
Глава III. ПРОСТЕЙШИЕ ФАКТЫ ГЕОМЕТРИИ ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ
§ 8. Принцип двойственности. Теорема Дезарга……………………41
1. Принцип двойственности ………………………………—
2. Теорема Дезарга ……………………………………….42
3. Обратная теорема Дезарга ……………….44
4. Теорема Дезарга на расширенной евклидовой плоскости……—
§ 9. Двойное отношение точек и прямых на плоскости………………..45
1. Определение двойного отношения четырех коллинеарных точек плоскости и его эквивалентность с прежним определением…………—
2. Выражение проективных координат точек плоскости через двойные отношения…………….46
3. Двойное отношение прямых пучка и расширенный принцип двойственности………………..47
4. Основное свойство двойных отношений ………….48
5. Следствия из основного свойства двойных отношений……49
6. Построение гармонических четверок на расширенной евклидовой плоскости………………—
§ 10. Полный четырехвершинник и полный четырехсторонник…………52
1. Определения ……………………………………….—
2. Гармонические свойства полного четырехвершинника …………53
3. Построение четвертой гармонической ……………………..54
4. Гармонические свойства некоторых четырехвершинников на расширенной евклидовой плоскости …………………………….55
Глава IV. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 11. Проективное отображение прямой на прямую………………….57
1. Перспективное отображение прямой на прямую………………—
2. Проективное отображение прямой на прямую и его задание …. —
3. Условие перспективности проективного отображения…………59
4. Теорема Паппа ……………………………………….—
§ 12. Проективные преобразования прямой. Инволюции………………61
1. Проективное преобразование прямой …………..—
2. Уравнения проективного преобразования прямой…………….—
3. Композиция проективных преобразований ………………….62
4. Определение и признак инволюции. Задание………………..—
5. Уравнения инволюции ………………………………….63
6. Неподвижные точки. Виды инволюций ……………………64
§ 13. Коллинеации …………………………………………..64
1. О проективных преобразованиях плоскости………………….
2. Определение коллинеаций и их задание……………………—
3. Уравнения коллинеации ………………………………..70
4. Перспектива …………………………………………71
§ 14. Гомологии …………………………………………….74
1. Определение и виды гомологий…………………………….—
2. Задание гомологии ……………………………………75
3. Инволюционные гомологии …………………………….76
4. Гомологии на расширенной евклидовой плоскости…………….77
Глава V. КВАДРИКИ
§ 15. Квадрики и их классификация. Задание квадрики пятью точками … 80
1. Определение квадрики ………………………………….—
2. Приведение уравнения квадрики к каноническому виду……….81
3. Проективная классификация квадрик ……………………..—
4. Задание квадрики пятью точками …………………………83
§ 16. Взаимное расположение прямой и квадрики. Поляры и полюсы …. 85
1. Точки пересечения прямой и квадрики……………………..—
2. Касательные к квадрике ………………………………..86
3. Определение поляр и полюсов …………………………..87
4. Свойства полюсов и поляр. Полярная корреляция………………89
5. Автополярный трехвершинник и его связь с задачей приведения уравнения квадрики к каноническому виду………………….90
6. Полярные свойства полного четырехвершинника, вписанного в квадрику ………………………………………………..91
§ 17. Теоремы Паскаля и Брианшона …………………………….94
1. Теорема Паскаля ……………………………………..—
2. Предельные случаи теоремы Паскаля……………………….95
3. Теорема Брианшона и ее предельные случаи………………….96
§ 18. Квадрики на расширенной евклидовой плоскости……….99
1. Аффинная классификация квадрик ……………………….—
2. Центр квадрики …………………..101
3. Диаметры квадрики ………………………………….—
4. Асимптоты квадрики ………………..102
Глава IV. ГЕОМЕТРИИ ГРУППЫ КОЛЛИНЕАЦИЙ И ЕЕ ПОДГРУПП
§ 19. Геометрия и группы преобразований……………105
1. Клейновское определение геометрии ……………………….—
2. Геометрия группы и ее подгруппы……………106
3. Проективная геометрия как геометрия группы коллинеаций … 107
4. Абсолют ……………………..108
§ 20. Аффинная геометрия с проективной точки зрения………110
1. Аффинная группа как группа автоморфизмов относительно несобственной прямой……………….—
2. Проективные определения аффинных понятий ………111
§ 21. Евклидова геометрия с проективной точки зрения……….111
1. Условие, при котором аффинное преобразование является пеобразованием подобия………………..—
2. Группа подобий как группа автоморфизмов относительно несобственной прямой с заданной на ней абсолютной инволюцией…………113
3. Проективные определения евклидовых понятий ……..114
§ 22. Понятие о неевклидовых геометриях с проективной точки зрения … 116
1. Общие замечания ……………………………………..—
2. Псевдоевклидова геометрия …………………………….—
3. Геометрия Лобачевского ………………118
Об определении проективных пространств ……………………121
Алфавитный указатель ……………………………………122
Литература …………………………………………….124

загрузка...
Поделиться ссылкой:
  • Добавить ВКонтакте заметку об этой странице
  • Мой Мир
  • Facebook
  • Twitter
  • LiveJournal
  • В закладки Google
  • Яндекс.Закладки
  • Сто закладок
  • Blogger
  • Блог Li.ру
  • Блог Я.ру
  • Одноклассники
  • RSS

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: