Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения ОНЛАЙН

Ф. Хартман Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М., Мир, 1970. — 720 с.
Книга Ф.Хартмана — одного из крупнейших специалистов по теории дифференциальных уравнений — возникла на основе различных курсов, которые автор неоднократно читал студентам и аспирантам разных специальностей. Только первые ее главы включают традиционный материал. Далее следует изложение качественной теории дифференциальных уравнений,

загрузка...
в котором особый интерес представляет круг вопросов, связанных с теоремой о поведении диффеоморфизма в окрестности неподвижной точки. И, наконец, остальная часть книги посвящена более специальным вопросам (асимптотическое интегрирование систем, близких к линейным, уравнения второго порядка, дихотомия и т. д.).Упражнения (содержащие задачи различной трудности, частично с решениями) играют в этой книге особую роль. Они не только позволяют читателю проверить, как он усвоил материал, но и указывают ему возможные направления дальнейшего развития теории. Широта охвата материала, систематичность и четкость изложения делают книгу хорошим учебным пособием для студентов высших учебных заведений.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода …………………………….5
Из предисловия автора………………………………9
ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ……………………П
§ 1. Вводные замечания…………………………….И
§ 2. Основные теоремы………………………………13
§ 3. Гладкие аппроксимации…………………………16
§ 4. Замена переменных в интегралах………………….18
Примечания……………………………………..18
ГЛАВА II. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ……………………..19
§ 1. Теорема Пикара — Линделёфа……………………19
§ 2. Теорема Пеано ………………………………..21
§ 3. Теорема о продолжении решения………………….24
§ 4. Теорема Кнезера ………………………………28
§ 5. Пример неединственности ……………………….31
Примечания……………………………………..35
ГЛАВА III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ……………..37
§ 1. Неравенство Гронуолла …………………………37
§ 2. Максимальные и минимальные решения…………….38
§ 3. Правые производные…………………………….39
§ 4. Дифференциальные неравенства……………………40
§ 5. Теорема Уинтнера………………………………43
§ 6. Теоремы единственности…………………………45
§ 7. Теорема единственности ван Кампена………………50
§ 8. Точки выхода и функции Ляпунова………………..52
§ 9. Последовательные приближения ………………….57
Примечания……………………………………..60
ГЛАВА IV. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ …. 62
§ 1. Линейные системы …………………………….62
§ 2. Вариация постоянных…………………………..65
§ 3. Редукция к системам меньшего порядка…………..67
§ 4. Основные неравенства…………………………..72
§ 5. Системы с постоянными коэффициентами…………..75
§ 6. Теория Флоке ………………………………..78
§ 7. Сопряженные системы…………………………..81
§ 8. Линейные уравнения высших порядков…………..82
§ 9. Замечания о замене переменных………………….88
ДОБАВЛЕНИЕ. ЛИНЕЙНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ………………..90
§ 10. Фундаментальные матрицы ……………………..90
§ 11. Простые особенности…………………………..94
§ 12. Уравнения высших порядков……………………106
§ 13. Кратные особенности…………………………..110
Примечания……………………………………..115
ГЛАВА V. ЗАВИСИМОСТЬ ОТ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ И ПАРАМЕТРОВ …117
§ 1. Предварительные замечания……………………..117
§ 2. Непрерывность………………………………..118
§ 3. Дифференцируемость …………………………..119
§ 4. Существование производных высших порядков …. 125
§ 5. Внешние производные…………………………..126
§ 6. Дальнейшие теоремы о дифференцируемости……….130
§ 7. S- и L-липшицевы формы……………………….134
§ 8. Теорема единственности……………….136
§ 9. Лемма………………………………137
§ 10. Доказательство теоремы 8.1…………………….138
§ 11. Доказательство теоремы 6.1……………………..140
§ 12. Первые интегралы…………………………….142
Примечания……………………………………..144
ГЛАВА VI. УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ………………..145
ЧАСТЬ I. ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА…………………………..145
§ 1. Уравнения в полных дифференциалах…………….145
§ 2. Алгебра внешних форм…………………………149
§ 3. Теорема Фробениуса …………………………..152
§ 4. Доказательство теоремы 3.1……………………..155
§ 5. Доказательство леммы 3.1……………………..J58
§ 6. Система (1Л)………………………………….159
ЧАСТЬ II. МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК (МЕТОД КОШИ)…………….163
§ 7. Нелинейные уравнения в частных производных … 163
§ 8. Характеристики………………………………..168
§ 9. Теорема существования и единственности…………170
§ 10. Лемма Хаара и единственность………………….173
Примечания……………………………………..176
ГЛАВА VII. ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕ-БЕНДИКСОНА………………178
§ 1. Автономные системы …………………………..178
§ 2. Теорема об индексе…………………………….180
§ 3. Индекс стационарной точки……………………..184
§ 4. Теорема Пуанкаре — Бендиксона ………………..186
§ 5. Устойчивость периодических решений…………….192
§ 6. Точки вращения ………………………………195
§ 7. Фокусы, узлы и седловые точки………………….196
§ 8. Секторы……………………………………..199
§ 9. Стационарная точка общего вида………………..204
§ 10. Уравнения второго порядка……………………..214
ПРИЛОЖЕНИЕ. ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕ — БЕНДИКСОНА НА ДВУМЕРНЫХ
МНОГООБРАЗИЯХ……………………………………………………..222
§11. Предварительные сведения ……………………..223
§ 12. Аналог теоремы Пуанкаре — Бендиксона…………226
§ 13. Каскады на замкнутой кривой……………………232
§ 14. Потоки на торе………………………………..238
Примечания……………………………………..244
ГЛАВА VIII. СТАЦИОНАРНЫЕ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ…………246
§ 1. Теорема существования …………………………246
§ 2. Характеристические направления………………….254
§ 3. Системы, близкие к линейным……………………257
§ 4. Более общие стационарные точки………………….266
Примечания……………………………………..273
ГЛАВА IX. ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ И ЛИНЕАРИЗАЦИЯ 275
§ 1. Инвариантные многообразия ……………………275
§ 2. Отображения Т^ ………………………………278
§ 3. Модификация функции F ……………………..279
§ 4. Приведение системы к нормальному виду…………281
§ 5. Инвариантные многообразия отображения…………282
§ 6. Существование инвариантных многообразий……….291
§ 7. Линеаризации………………………………….293
§ 8. Линеаризация отображения……………………..294
§ 9. Доказательство теоремы 7.1……………………..300
§ 10. Периодические решения……………………….301
§ 11. Предельные циклы………….. . 304
ПРИЛОЖЕНИЕ. ГЛАДКО ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ………………..307
§ 12. Гладкие линеаризации …………………………307
§ 13. Доказательство леммы 12.1……………………..311
§ 14. Доказательство теоремы 12.2……………………313
Примечания……………………………………..324
ГЛАВА X. ВОЗМУЩЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ …………….326
§ 1. Случай О ………………………………..326
§ 2. Топологический принцип ……………………….332
§ 3. Теорема Важевского …………………………..335
§ 4. Подготовительные леммы……………………….338
§ 5. Доказательство леммы 4.1……………………..346
§ 6. Доказательство леммы 4.2……………………….347
§ 7. Доказательство леммы 4.3……………………….347
§ 8. Асимптотическое интегрирование. Логарифмическая шкала 350
§ 9. Доказательство теоремы 8.2……………………..354
§ 10. Доказательство теоремы 8.3……………………..355
§ 11. Логарифмическая шкала (продолжение)…………..357
§ 12. Доказательство теоремы 11.2……………………360
§ 13. Асимптотическое интегрирование………………….361
§ 14. Доказательство теоремы 13.1……………………364
§ 15. Доказательство теоремы 13.2……………………368
§ 16. Следствия и уточнения…………………………369
§ 17. Линейные уравнения высших порядков…………….372
Примечания……………………………………..379
ГЛАВА XI. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА……….381
§ 1. Предварительные сведения ……………………..381
§ 2. Основные факты ………………………………385
§ 3. Теоремы Штурма………………………………393
§ 4. Краевые задачи Штурма — Лиувилля…………….397
§ 5. Число нулей………………………………….407
§ 6. Неосциллирующие уравнения и главные решения . . . 414
§ 7. Теоремы о неосциллирующих уравнениях…………427
§ 8. Асимптотическое интегрирование. Эллиптические случаи …………………………………………..436
§ 9. Асимптотическое интегрирование. Неэллиптические случаи …………………………………………..442
ПРИЛОЖЕНИЕ. СИСТЕМЫ БЕЗ СОПРЯЖЕННЫХ ТОЧЕК……………………453
§ 10. Системы без сопряженных точек………………….453
§ 11. Обобщения……………………………………467
Примечания……………………………………..472
ГЛАВА XII. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМ О НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЯХ И НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧКАХ………………..475
ЧАСТЬ I. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ…………..
§ 1. Линейные уравнения…………………………….478
§ 2. Нелинейные задачи…………………………….485
ЧАСТЬ II. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 491
§ 3. Линейные задачи ………………………………491
§ 4. Нелинейные задачи …………………………….496
§ 5. Априорные оценки………………………………502
ЧАСТЬ III. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ………………………………
§ 6. Основные факты………………………………..511
§ 7. Функции Грина………………………………..516
§ 8. Нелинейные уравнения …………………………519
§ 9. Асимптотическое интегрирование………………….523
Примечания……………………………………..526
ГЛАВА XIII. ДИХОТОМИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 528
ЧАСТЬ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ………………………………..^29
§ 1. Обозначения и определения……………………..529
§ 2. Предварительные леммы…………………………533
§ 3. Оператор Т ………………………………….541
§ 4. Оценки для II Py{t) II…………………………..545
§ 5. Оценки для \\ у (t) \\…………………………….551
§ 6. Приложения к системам первого порядка…………555
§ 7. Приложения к системам высшего порядка…………560
§ 8. Р (B, D)-многообразия …………………………567
ЧАСТЬ II. СОПРЯЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ……………………..^^^
§ 9. Ассоциированные пространства ………………….568
§ 10. Оператор Т’………………………………….570
§ 11. Индивидуальные дихотомии……………………..571
§ 12. Р’-допустимые пространства для Т’………………575
§ 13. Приложения к дифференциальным уравнениям …. 579
§ 14. Существование PD-решений……………………..582
Примечания……………………………………584
ГЛАВА XIV. МОНОТОННОСТЬ………………………………585
ЧАСТЬ I. МОНОТОННЫЕ РЕШЕНИЯ …………………………^^^
§ 1. Большие и малые решения……………………585
§ 2. Монотонные решения…………………………..591
§ 3. Линейные уравнения второго порядка…………….596
§ 4. Линейные уравнения второго порядка (продолжение) 602
ЧАСТЬ II. ОДНА ЗАДАЧА ИЗ ТЕОРИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ …. 607
§ 5. Постановка задачи…………………………….607
§ 6. Случай Л > 0 ………………………………..607
§ 7. Случай Л<0 ......................................612 § 8. Случай Л = 0 ......................................620 § 9. Асимптотическое поведение............. 623 ЧАСТЬ III. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ В ЦЕЛОМ ..........627 § 10. Асимптотическая устойчивость в целом................627 § 11. функции Ляпунова..................................629 § 12. Переменная матрица G............... 631 § 13. О следствии 11.2....................................637 § 14. ......................640 § 15. Доказательство теоремы 14.2........................643 § 16. Доказательство теоремы 14.1........................647 Примечания............................................647 УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ ......................................649 ЛИТЕРАТУРА......................................................685 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ............................................710Часть 1

Часть 2
Поделиться ссылкой:
  • Добавить ВКонтакте заметку об этой странице
  • Мой Мир
  • Facebook
  • Twitter
  • LiveJournal
  • В закладки Google
  • Яндекс.Закладки
  • Сто закладок
  • Blogger
  • Блог Li.ру
  • Блог Я.ру
  • Одноклассники
  • RSS

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: