Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей ОНЛАЙН

Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. — М.: Гос. изд-во физико-математической литературы, 1959. — 400с.
Вниманию читателей предлагается книга известного отечественного математика А.О. Гельфонда (1906-1968), в которой изложена теория конечных разностей. Данная теория имеет большое значение как для приближенных вычислений, в том числе для численного интегрирования и приближенного решения дифференциальных уравнений, так и для конструктивной теории функций действительного и комплексного переменного, теории вероятностей и теории чисел. Помимо основных классических задач теории конечных разностей, в книге содержатся главы, посвященные проблемам этой теории для аналитических функций комплексного переменного. Книга рекомендуется математикам — научным работникам, преподавателям, аспирантам и студентам математических факультетов вузов.


ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к первому изданию………………………………7
Предисловие ко второму изданию . ……………………………8
Введение. Постановка задач теории конечных разностей……….9
1. Задача интерполяции………………………………….9
2. Суммирование функций и уравнения в конечных разностях 11
3. Постановка задач теории конечных разностей для аналитических функций комплексного переменного……………………..12
Глава I. Задача интерполяции…………………………….14
§ 1. Общая постановка проблемы интерполяции………………14
1. Понятие разделенных разностей…………………………14
2. Формула Лагранжа…………………………16
3. Формула Ньютона……………………………………21
§ 2. Многочлены Чебышева………………………24
§ 3. Формула Ньютона для равноотстоящих значений независимого
переменного…………………………………………..33
1. Первый вывод формулы Ньютона……………………….33
2. Второй вывод формулы Ньютона……………………….35
3. Понятие обобщенной степени…………………………37
4. Примеры…………………………………….38
§ 4. Различные представления разделенной разности в общем случае расположения узлов интерполяции………………….39
1. Первое представление разделенной разности…………….39
2. Второе представление разделенной разности и формула Ньютона при произвольных узлах интерполяции………………..40
3. Третье представление разделенной разности и формула Эрмита 45
§ 5. Интерполяционный процесс при треугольной таблице …. 48
1. Постановка Задачи и основные формулы . . . . ……….48
2. Оценки остаточного члена в общей интерполяционной формуле и основные теоремы о представлении функций интерполяционным рядом……………………..
3. Основные теоремы о представлении функций общим интерполяционным рядом …………………………………….60
§ 6. Приближение функций………………………………..66
1. Постановка задач и свойства непрерывных функций……….66
2. Приближение функций многочленами……………………76
3. Сходимость интерполяционного процесса Лагранжа и теорема С. Н. Бернштейиа…………………
4. Многочлены С. Н. Бернштейна и их обобщение…………..87
5. Приближение функций многочлеиами в комплексной плоскости Многочлены Фабера………………………………….98
§ 7. Интерполяционная задача и проблема моментов в комплексной плоскости ………………………………………..102
Глава II. Ряд Ньютона……………………………………11З
§ 1. Вспомогательные предложения…………………………113
1. Некоторые часто встречающиеся оценки………………..11З
2. Гамма-функция, ее определение и основные свойства……….118
3. Асимптотическое представление Г(z)……………………122
4. Некоторые общие характеристики поведения целых аналитических функций……………………………………….125
5. Некоторые свойства выпуклых областей. Опорная функция выпуклой области……………………………………..130
6. Связь между индикатрисой роста целой аналитической функции первого порядка нормального типа и расположением особенностей ассоциированной с ней функции………………..134
7. Плотность последовательности и показатель сходимости . . . 137
§ 2. Ряд Ньютона с узлами интерполяции 1, 2, 3,………………..141
1. Абсцисса сходимости………………………………..141
2. Свойства функций, представляемых рядом Ньютона……….154
3. Разложение аналитических функций в ряд Ньютона……….160
§ 3. Ряд Ньютона при произвольных узлах интерполяции……….171
1. Область сходимости ряда Ньютона……………………171
2. Случай конечного числа предельных точек последовательности узлов интерполяции на конечной части плоскости…………..180
3. Интерполяционный процесс Ньютона в случае, когда узлы интерполяции имеют точку накопления только в бесконечности 187
4. Приложение интерполяционных процессов к решению некоторых вопросов теории чисел…………………………….196
Глава ІІІ. Построение целой функции с заданными элементами . . . 212
§ 1. Постановка задач и построение целой функции по ее значениям 212
1. Построение целой функции по ее значениям в некоторой последовательности точек……………………………………212
2. Интерполяция рациональными дробями и одна теорема о целых (фикциях…………………………………………….220
3. Определение целой функции по значениям последовательных производных………………….. 223
4. Постановка общей задачи определения целой функции по заданным элементам……………………………………..227
§ 2. Проблема моментов в комплексной области для целых функций не выше первого порядка нормального типа………………228
§ 3. Частные случаи общей интерполяционной задачи…………240
§ 4, Линейные дифференциальные уравнения бесконечного порядка с постоянными коэффициентами и некоторые интерполяционные задачи, приводящиеся к решению подобных уравнений 247
Глава IV. Суммирование функций. Числа и многочлены Бернулли …..260
§ 1. Постановка задачи. Случаи элементарного суммирования . ….. 260
1. Связь между задачами суммирования и нахождения функции по заданной разности………………………………..260
2. Случаи элементарного суммирования……………………262
3. Общие замечания о решении уравнения AF(x) = <р(лс) .... 264 4. Решение уравнения Af(jc) = (^jc) для случая, когда ф(х) — многочлен..................................................265 § 2. Числа и многочлены Бернулли..............................270 1. Вычисление чисел Бернулли................................270 2. Дальнейшие свойства чисел Бернулли........................272 3. О малой теореме Ферма....................................276 4. Другой вид производящей функции бернуллиевых чисел . . . 276 5. Теорема Штаудта............................................279 6. Аналитические свойства многочленов Бернулли..............284 7. Теорема умножения бернуллиевых многочленов..............285 8. Геометрические свойства многочленов Бернулли............286 § 3. Формула Эйлера............................................289 1. Предварительные соображения..............................289 2. Строгий вывод формулы Эйлера с остаточным членом ..... 293 3. Остаточный член формулы Эйлера............. . 298 4. Другая форма остаточного члена формулы Эйлера............299 5. Формула Стирлинга........................................303 Глава V. Уравнения в конечных разностях .....................307 § 1. Постановка задачи............................................307 § 2. Линейные уравнения первого порядка . . ......... 309 1. Однородное линейное уравнение ...................309 2. Неоднородное линейное уравнение..........................310 § 3. Линейные уравнения. Общая теория........................312 1. Общий вид линейных уравнений ............. . 312 2. Основные теоремы о решениях линейного уравнения..........313 3. Линейная зависимость и независимость функций............316 4. Свойства частных решений линейного однородного уравнения 320 5. Неоднородное линейное уравнение. Метод вариации постоянных 324 6. Выражение многократной суммы через однократную..........327 § 4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами ...... 329 1. Однородное линейное уравнение. Характеристическое уравнение 329 2. Случай кратных корней....................................332 3. Общее решение и линейная независимость частных решений 334 4. Решение неоднородного линейного уравнения................338 5. Примеры....................................................339 § 5. Теорема Пуанкаре..........................................347 1. Постановка вопроса..........................................347 2. Теорема Пуанкаре..........................................348 3. Теорема Перрона............................................359 4. Пример к теореме Пуанкаре............................360 § 6. Теорема Гёльдера............................................362 § 7. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами бесконечного порядка..........................368 1. Уравнения бесконечного порядка как обобщение линейных разностных уравнений........................368 2. Линейные однородные дифференциальные уравнения бесконечного порядка с постоянными коэффициентами................369 3. Обобщенные функции Бернулли, порождаемые оператором L(F) 381 4. Линейные неоднородные уравнения..........................382 5. Обобщения понятия периода функции......................387 Литература по теории конечных разностей..........................399

загрузка...
Поделиться ссылкой:
  • Добавить ВКонтакте заметку об этой странице
  • Мой Мир
  • Facebook
  • Twitter
  • LiveJournal
  • В закладки Google
  • Яндекс.Закладки
  • Сто закладок
  • Blogger
  • Блог Li.ру
  • Блог Я.ру
  • Одноклассники
  • RSS

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: