Гантмахер Ф. Р. Теория матриц ОНЛАЙН

Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 560 с.
Книга посвящена матричному исчислению. В ней наряду с собственно теорией матриц содержится изложение ряда математических проблем, решение которых достигается применением развитой матричной техники. Большое внимание уделено вопросам интегрирования и проблеме устойчивости систем дифференциальных уравнений.
Четвертое издание — 1988 г.
Для студентов старших курсов и аспирантов (математиков, механиков, физиков и др.), а также для математиков, программистов, механиков, физиков и инженеров, использующих матричный математический аппарат.


ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие автора к первому изданию………………………………………………….7
Предисловие редактора ко второму изданию…………………………………………….10
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ОСНОВЫ ТЕОРИИ
ГЛАВА I. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
§ 1. Матрицы. Основные обозначения……………………………………………………11
§ 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц………………………………….13
§ 3. Квадратные матрицы………………………………………………………………….22
§ 4. Ассоциированные матрицы. Миноры обратной матрицы…………………………27
§ 5. Обращение прямоугольных матриц. Псевдообратная матрица………………….30
ГЛАВА II. АЛГОРИТМ ГАУССА И НЕКОТОРЫЕ ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
§ 1. Метод исключения Гаусса…………………………………………………………….39
§ 2. Механическая интерпретация алгоритма Гаусса………………………………….43
§ 3. Детерминантное тождество Сильвестра…………………………………………….45
§ 4. Разложение квадратной матрицы на треугольные множители………………….47
§ 5. Разбиение матрицы на блоки. Техника оперирования с блочными матрицами.
Обобщенный алгоритм Гаусса ……………………………………………………….53
ГЛАВА III ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В n-МЕРНОМ ВЕКТОРНОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Векторное пространство………………………………………………………………63
§ 2. Линейный оператор, отображающий n-мерное пространство в ш-мерное … 67
§ 3. Сложение и умножение линейных операторов……………………………………..69
§ 4. Преобразование координат…………………………………………………………….71
§ 5. Эквивалентные матрицы. Ранг оператора. Неравенства Сильвестра…………..72
§ 6. Линейные операторы, отображающие n-мерное пространство само в себя … 76
§ 7. Характеристические числа и собственные векторы линейного оператора … 79
§ 8. Линейные операторы простой структуры…………………………………………..81
ГЛАВА IV. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ И МИНИМАЛЬНЫЙ МНОГОЧЛЕНЫ
МАТРИЦЫ
§ 1. Сложение и умножение матричных многочленов………………………………….84
§ 2. Правое и левое деления матричных многочленов. Обобщенная теорема Безу . 86
§ 3. Характеристический многочлен матрицы. Присоединенная матрица…………89
§ 4. Метод Д.К. Фаддеева одновременного вычисления коэффициентов характеристического многочлена и присоединенной матрицы ………………………………93
§ 5. Минимальный многочлен матрицы………………………………………………….95
ГЛАВА V. ФУНКЦИИ МАТРИЦЫ
§ 1. Определение функции матрицы……………………………………………………..99
§ 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра …………….103
§ 3. Другие формы определения f{A). Компоненты матрицы А………….106
§4. Представление функций матриц рядами …………………….111
§ 5. Некоторые свойства функций от матриц…………………….114
§ 6. Применение функций от матрицы к интегрированию системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами…………119
§ 7. Устойчивость движения в случае линейной системы……………..125
ГЛАВА VI. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МНОГОЧЛЕННЫХ МАТРИЦ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ
§ 1. Элементарные преобразования многочленной матрицы ……………130
§ 2. Канонический вид Л-матрицы…………………………..133
§ 3. Инвариантные многочлены и элементарные делители многочленной матрицы 137
§ 4. Эквивалентность линейных двучленов………………………142
§ 5. Критерий подобия матриц……………………………..144
§ 6. Нормальные формы матрицы……………………………145
§ 7. Элементарные делители матрицы f(A)……………………..149
§ 8. Общий метод построения преобразующей матрицы………………152
§ 9. Второй метод построения преобразующей матрицы ……………..156
ГЛАВА VII. СТРУКТУРА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА В п-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
ДЕЛИТЕЛЕЙ)
§ 1. Минимальный многочлен вектора, пространства (относительно заданного линейного оператора)………………………………….165
§ 2. Расщепление на инвариантные подпространства с взаимно простыми минимальными многочленами………………………………167
§ 3. Сравнения. Надпространство……………………………169
§ 4. Расщепление пространства на циклические инвариантные подпространства . 171
§ 5. Нормальная форма матрицы ……………………………175
§ 6. Инвариантные многочлены. Элементарные делители……………..178
§ 7. Нормальная жорданова форма матрицы……………………..181
§ 8. Метод А.Н. Крылова преобразования векового уравнения…………..183
ГЛАВА VIII МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Уравнение АХ = ХВ………………………………..193
§ 2. Частный случай: А = В. Перестановочные матрицы……………..197
§ 3. Уравнение АХ -ХВ = С……………………………..200
§ 4. Скалярное уравнение f{X) = 0…………………………..201
§ 5. Матричное многочленное уравнение……………………….202
§ 6. Извлечение корня n-й степени из невырожденной матрицы…………205
§ 7. Извлечение корня n-й степени из вырожденной матрицы ………….208
§ 8. Логарифм матрицы………………………………….212
ГЛАВА IX. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Общие соображения…………………………………215
§ 2. Метризация пространства……………………………..215
§ 3. Критерий Грама линейной зависимости векторов……………….218
§ 4. Ортогональное проектирование ………………………….220
§ 5. Геометрический смысл определителя Грама и некоторые неравенства…..222
§ 6. Ортогонализация ряда векторов………………………….225
§ 7. Ортонормированный базис……………………………..230
§ 8. Сопряженный оператор……………………………….232
§ 9. Нормальные операторы в унитарном пространстве………………235
§ 10. Спектр нормальных, эрмитовых, унитарных операторов…………..237
§ 11. Неотрицательные и положительно определенные эрмитовы операторы…..240
§ 12. Полярное разложение линейного оператора в унитарном пространстве. Формулы Кэли ………………………………………242
§ 13. Линейные операторы в евклидовом пространстве……………….246
§ 14. Полярное разложение оператора и формулы Кэли в евклидовом пространстве 252
§ 15. Коммутирующие нормальные операторы…………………….255
§ 16. Псевдообратный оператор……………………………..257
ГЛАВА Х. КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ
§ 1. Преобразование переменных в квадратичной форме ……………..259
§ 2. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов. Закон инерции…..261
§ 3. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к сумме квадратов. Формула Якоби………………………………………263
§ 4. Положительные квадратичные формы………………………268
§ 5. Приведение квадратичной формы к главным осям ………………271
§ 6. Пучок квадратичных форм…………………………….272
§ 7. Экстремальные свойства характеристических чисел регулярного пучка форм 277
§ 8. Малые колебания системы с п степенями свободы ………………284
§ 9. Эрмитовы формы…………………………………..288
§ 10. Ганкелевы формы…………………………………..293
ЧАСТЬ ВТОРАЯ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ
ГЛАВА XI. КОМПЛЕКСНЫЕ СИММЕТРИЧЕСКИЕ, КОСОСИММЕТРИЧЕСКИЕ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ
§ 1. Некоторые формулы для комплексных ортогональных и унитарных матриц . 301
§ 2. Полярное разложение комплексной матрицы ………………….305
§ 3. Нормальная форма комплексной симметрической матрицы…………307
§ 4. Нормальная форма комплексной кососимметрической матрицы………309
§ 5. Нормальная форма комплексной ортогональной матрицы…………..314
ГЛАВА XII. СИНГУЛЯРНЫЕ ПУЧКИ МАТРИЦ
§ 1. Введение………………………………………..318
§ 2. Регулярный пучок матриц……………………………..319
§ 3. Сингулярные пучки. Теорема о приведении…………………..321
§ 4. Каноническая форма сингулярного пучка матриц……………….326
§ 5. Минимальные индексы пучка. Критерий строгой эквивалентности пучков . . 328
§ 6. Сингулярные пучки квадратичных форм…………………….330
§ 7. Приложения к дифференциальным уравнениям ………………..334
ГЛАВА XIII. МАТРИЦЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
§ 1. Общие свойства……………………………………337
§ 2. Спектральные свойства неразложимых неотрицательных матриц……..339
§ 3. Разложимые матрицы………………………………..349
§ 4. Нормальная форма разложимой матрицы…………………….356
§ 5. Примитивные и импримитивные матрицы……………………360
§ 6. Стохастические матрицы………………………………364
§ 7. Предельные вероятности для однородной цепи Маркова с конечным числом
состояний……………………………………….368
§ 8. Вполне неотрицательные матрицы………………………..376
§ 9. Осцилляционные матрицы……………………………..380
ГЛАВА XIV. РАЗЛИЧНЫЕ КРИТЕРИИ РЕГУЛЯРНОСТИ И ЛОКАЛИЗАЦИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
§ 1. Критерий регулярности Адамара и его обобщения ………………387
§ 2. Норма матрицы……………………………………390
§ 3. Распространение критерия Адамара на блочные матрицы ………….392
§ 4. Критерий регулярности Фидлера…………………………394
§ 5. Круги Гершгорина и другие области локализации……………….395
ГЛАВА XV. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ МАТРИЦ К ИССЛЕДОВАНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Общие понятия……………………………….399
§ 2. Преобразование Ляпунова……………………………..402
§ 3. Приводимые системы………………………………..403
§ 4. Каноническая форма приводимой системы. Теорема Еругина………..405
§ 5. Матрицант………………………………………408
§ 6. Мультипликативный интеграл. Инфинитезимальное исчисление Вольтерра . . 412
§ 7. Дифференциальные системы в комплексной области. Общие свойства…..416
§ 8. Мультипликативный интеграл в комплексной области…………….418
§ 9. Изолированная особая точка ……………………………422
§ 10. Регулярная особая точка………………………………427
§ 11. Приводимые аналитические системы ………………………439
§ 12. Аналитические функции многих матриц и их применение к исследованию
дифференциальных систем. Работы И. А. Лаппо-Данилевского……….442
ГЛАВА XVI. ПРОБЛЕМА РАУСА-ГУРВИЦА И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ
§ 1. Введение………………………………………..445
§ 2. Индексы Коши…………………………………….446
§ 3. Алгоритм Рауса……………………………………449
§ 4. Особые случаи. Примеры………………………………452
§ 5. Теорема Ляпунова………………………………….455
§ 6. Теорема Рауса-Гурвица……………………………….459
§ 7. Формула Орландо…………………………………..464
§ 8. Особые случаи в теореме Рауса-Гурвица…………………….466
§ 9. Метод квадратичных форм. Определение числа различных вещественных корней многочлена……………………………………469
§ 10. Бесконечные ганкелевы матрицы конечного ранга ………………471
§ 11. Определение индекса произвольной рациональной дроби через коэффициенты
числители и знаменателя………………………………473
§ 12. Второе доказательство теоремы Рауса-Гурвица………………..480
§ 13. Некоторые дополнения к теореме Рауса-Гурвица. Критерий устойчивости Лье-
нара и Шипара…………………………………….483
§ 14. Некоторые свойства многочлена Гурвица. Теорема Стилтьеса. Представление
многочленов Гурвица при помощи непрерывных дробей……………487
§ 15. Область устойчивости. Параметры Маркова…………………..493
§ 16. Связь с проблемой моментов……………………………496
§ 17. Связь между определителями Гурвица и определителями Маркова…….499
§ 18. Теоремы Маркова и Чебышева…………………………..501
§ 19. Обобщенная задача Рауса-Гурвица………………………..507
ДОБАВЛЕНИЕ. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ СОБСТВЕННЫХ И СИНГУЛЯРНЫХ
ЧИСЕЛ (В. Б. Лидский)
§ 1. Мажорирующие последовательности……………………….509
§ 2. Неравенства Неймана-Хорна……………………………512
§ 3. Неравенства Вейля………………………………….516
§ 4. Максимально-минимальные свойства сумм и произведений собственных чисел эрмитовых операторов……………………………..518
§ 5. Неравенства для собственных и сингулярных чисел сумм и произведений операторов …………………………………………524
§ 6. Другая постановка задачи о спектре суммы и произведения эрмитовых операторов …………………………………………527
Примечания…………………………………………533
Список литературы…………………………………….539
Предметный указатель…………………………………..555
Часть 1

Часть 2

загрузка...
Поделиться ссылкой:
  • Добавить ВКонтакте заметку об этой странице
  • Мой Мир
  • Facebook
  • Twitter
  • LiveJournal
  • В закладки Google
  • Яндекс.Закладки
  • Сто закладок
  • Blogger
  • Блог Li.ру
  • Блог Я.ру
  • Одноклассники
  • RSS

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: